市役所などの公的機関の事務のアルバイトの募集があるかどうかはそれぞれの機関に問い合わせればわかりますか？また、継続して長く働くことはできないんでしょうか？

地元なら広報誌や掲示板に掲載されてます。また、ハローワークにもあります。
でも、地方なら縁故採用が強いのではないでしょうか。昔はそうでした。
行政のホームページに掲載がある場合もあるので、電話で聞くより足で情報を集めたらどうですか。

扶養内でパートしていて、雇用保険をかけていました。期間も満たしているため、失業給付を需給できるのですが、月に平均６万円程度の収入であった場合、
失業給付はどれくらい受けられるのでしょうか。失業給付を受けるには、その期間は主人の扶養を外れなければならず、その間かかるお金(健康保険など)は全て自分で払わないといけません。逆に損をするように感じています。失業給付を受けずに仕事をした方が家計的にはプラスになるのでしょうか。

基本手当日額は、退職時から遡って直近満６ヶ月分の平均日額のだいたい５～８割になります。
上限額の設定がありますので、賃金の高い方ほど支給率は下がり、賃金の低い方は高い率になります。
とはいっても、収入額が６万円であれば、期待しない方がいいでしょう…。
離職票があれば、ハローワークで計算してもらえますよ。。

家政婦として働きたいと思っていますがどうすればいいのか教えて頂けないでしょうか？
携帯電話で求人募集の検索をしてみましたが、見つかりません

家政婦の経験はありませんが福祉関係の仕事を10年以上していました
ヘルパーと介護福祉士の資格を持っています
49歳です

ハローワークへ行ってみては如何ですか？

ですが、せっかく介福の資格を持っているのですから、資格を生かした介護関係の仕事も視野に入れてみてはどうでしょう？年齢的にも、まだまだ働けますし。

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